每日一题[1562]三倍角公式

设函数 $f(x)=ax^3-3x+1$($x\in\mathbb R$),若对于任意 $x\in[-1,1]$ 都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立,则实数 $a$ 的值为_______.

答案      $4$.

解析       根据题意,有\[\forall x\in[-1,1],ax^3-3x+1\geqslant 0.\]分别令 $x=\dfrac 12$ 和 $x=-1$,可得\[\begin{cases} \dfrac 18a-\dfrac 12\geqslant 0,\\ -a+4\geqslant 0,\end{cases}\iff a=4,\]而当 $a=4$ 时,有\[4x^3-3x+1=(x+1)(2x-1)^2\geqslant 0,\]符合题意.因此实数 $a$ 的值为 $4$.

备注      事实上,设 $x=\cos\theta$,则\[ax^3-3x+1=(a-4)\cos^3\theta+\cos 3\theta+1,\]自然想到令 $\theta=\dfrac{\pi}3$ 以及令 $\theta=\pi$.

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