每日一题[1571]抛物线的平均性质

已知抛物线方程 $y^2=2px$($p>0$),过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点,$O$ 为坐标原点,若 $2\angle AOF=\angle BOF$,则 $\dfrac{|AF|}{|BF|}=$ (       )

A.$\dfrac 32$

B.$3$

C.$4$

D.$6$

答案     D.

解析    设 $A(2pa^2,2pa)$,$B(2pb^2,2pb)$,则直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $\dfrac1a,\dfrac1b$,由 $2\angle AOF=\angle BOF$ 可得\[\dfrac{2\tan\angle AOF}{1-\tan^2\angle AOF}=\tan\angle BOF\implies \dfrac{\dfrac 2a}{1-\dfrac1{a^2}}=-\dfrac 1b,\]又根据抛物线的平均性质,有 $ab=-\dfrac 14$,结合上述方程解得\[(a,b)=\left(\pm\dfrac{\sqrt 6}2,\mp \dfrac{1}{2\sqrt 6}\right),\]因此\[\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac{2pa^2+\dfrac p2}{2pb^2+\dfrac p2}=\dfrac{4a^2+1}{4b^2+1}=6.\]

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