每日一题[1563]化简函数

已知 $a,b$ 为实数,函数 $f(x)=|a^2x^2-1|+ax$,若 $f(x)\geqslant|x|$ 对一切 $x\in[b,+\infty)$ 都成立,则 $m=a^2b^2+\left(b-\dfrac12\right)^2$ 的最小值为________.

答案      $\dfrac 18$.

解析      显然 $a\ne 0$,根据题意,有\[\forall x\in [b,+\infty),|(ax)^2-1|+ax\geqslant \dfrac{|ax|}{|a|},\]也即\[\forall x\in [b,+\infty),\left|ax-\dfrac{1}{ax}\right|+\dfrac{ax}{|ax|}\geqslant \dfrac{1}{|a|}.\]记 $g(x)=\left|x-\dfrac 1x\right|+\dfrac x{|x|}$,其函数图象如图.

情形一      $a\geqslant 1$.此时题意即\[\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]代数式\[m\geqslant b^2+\left(b-\dfrac 12\right)^2=2b^2-b+\dfrac 14\geqslant \dfrac 18,\]等号当 $a=1$,$b=\dfrac 14$ 时取得.

情形二      $0<a<1$.此时题意即\[\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]进而 $ab>1$,因此 $m>1$.

情形三      $a<0$.此时题意即\[\forall x\in (-\infty,ab],g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]进而 $ab<-1$,因此 $m>1$.

综上所述,$m$ 的最小值为 $\dfrac 18$,当 $a=1$,$b=\dfrac 14$ 时取得.

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