每日一题[1581]参数弦方程

设椭圆 $C$ 的左、右顶点为 $A(-a,0)$,$B(a,0)$,过右焦点 $F(1,0)$ 作非水平直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点,记直线 $AP,BQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$,试证:$\dfrac {k_1}{k_2}$ 为定值,并求此定值(用 $a$ 的函数表示).

答案    $\dfrac{a+1}{a-1}$.

解析    设椭圆 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=a\cos\theta,\\ y=b\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $\theta$ 为参数,点 $P,Q$ 对应的参数分别为 $\theta_1,\theta_2$,则根据椭圆的参数弦方程,有\[\tan\theta_1\tan\theta_2=\dfrac{1+a}{1-a},\]直线 $AP,BQ$ 的斜率之比\[\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{\dfrac{b\sin2\theta_1}{a\cos2\theta_1+a}}{\dfrac{b\sin2\theta_2}{a\cos2\theta_2-a}}=-\tan\theta_1\tan\theta=\dfrac{a+1}{a-1}.\]

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