每日一题[1575]解三角形

已知在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC=30^\circ$,$D$ 为 $BC$ 的中点,且 $AD=1$,则(       )

A.$\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $2-\sqrt 3$

B.$AB+AC$ 的最大值为 $2\sqrt 6-2\sqrt 2$

C.$\triangle ABC$ 周长的最小值为 $4+2\sqrt 6-2\sqrt 3-2\sqrt 2$

D.以上答案都不对

答案    ABC.

解析   设 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,则根据余弦定理和中线长公式,有\[\begin{cases} \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ 2(b^2+c^2)=a^2+4,\end{cases}\iff \begin{cases} b^2+c^2+\sqrt 3bc=4,\\ a^2=2(b^2+c^2)-4.\end{cases}\] [[case]]选项 A[[/case]]由第一个等式可得\[4\geqslant \left(2+\sqrt 3\right)bc\implies \dfrac 14bc\leqslant 2-\sqrt 3,\]等号当 $b=c=\sqrt 6-\sqrt 2$ 时取得,因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $2-\sqrt 3$. [[case]]选项 B[[/case]]由第一个等式可得\[4=(b+c)^2+\left(\sqrt 3-2\right)bc\geqslant (b+c)^2+\left(\sqrt 3-2\right)\cdot \left(\dfrac{b+c}2\right)^2,\]于是\[b+c\leqslant \sqrt{\dfrac{16}{2+\sqrt 3}}=2\sqrt 6-2\sqrt 2.\] [[case]]选项 C[[/case]] $\triangle ABC$ 的周长\[m=a+b+c=\sqrt{2(b^2+c^2)-4}+\sqrt{b^2+c^2+\dfrac{2}{\sqrt 3}(4-(b^2+c^2))},\]其中 $b^2+c^2\in \left[8(2-\sqrt 3),4\right)$,而 $m$ 关于 $b^2+c^2$ 在 $[8(2-\sqrt 3),4)$ 上单调递增,从而 $m$ 的取值范围是 $\left[4+2\sqrt 6-2\sqrt 3-2\sqrt 2,4\right)$.

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