每日一题[1578]分拆

方程 $2\sqrt{x-4}+3\sqrt{y-9}+4\sqrt{z-16}=\dfrac 1 2(x+y+z)$ 的实数解 $(x,y,z)=$ _______.

答案    $(8,18,32)$.

解析    根据题意,有\[4\sqrt{x-4}+6\sqrt{y-9}+8\sqrt{z-16}=(x-4)+4+(y-9)+9+(z-16)+16,\]而\[\begin{cases} (x-4)+4\geqslant 4\sqrt {x-4},\\ (y-9)+9\geqslant 6\sqrt{y-9},\\ (z-16)+16\geqslant 16\sqrt{z-16},\end{cases}\]因此 $(x,y,z)=(8,18,32)$.

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