设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^2-10m-36$ 的正整数解．
答案 $13$．
解析
情形一 $m$ 是一位数，则\[m=m^2-10m-36,\]无解．
情形二 $m$ 是二位数，设为 $\overline {xy}$，则\[xy=(10x+y)^2-10(10x+y)-36\implies 100x^2-100x-36+19xy=-y^2+10y,\]当 $x\geqslant 2$ 时，显然无解．因此 $x=1$，进而\[y^2+9y-36=0\implies y=3,\]因此 $m=13$．
情形三 $m$ 是 $n$ 位数，$n\geqslant 3$，则\[m^2-10m-36\geqslant 10^{2n-2}-10^n-36>9^n,\]不符合题意． 综上所述，所求正整数解为 $13$．