每日一题[1579]逐步估计

设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积,求方程 $f(m)=m^2-10m-36$ 的正整数解.

答案     $13$.

解析   

情形一   $m$ 是一位数,则\[m=m^2-10m-36,\]无解.

情形二     $m$ 是二位数,设为 $\overline {xy}$,则\[xy=(10x+y)^2-10(10x+y)-36\implies 100x^2-100x-36+19xy=-y^2+10y,\]当 $x\geqslant 2$ 时,显然无解.因此 $x=1$,进而\[y^2+9y-36=0\implies y=3,\]因此 $m=13$.

情形三     $m$ 是 $n$ 位数,$n\geqslant 3$,则\[m^2-10m-36\geqslant 10^{2n-2}-10^n-36>9^n,\]不符合题意. 综上所述,所求正整数解为 $13$.

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