每日一题[1598]以终为始

若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+b-3=0$($a,b \in \mathbb R$)在区间 $[1,2]$ 上有实根,则 $a^2+(b-4)^2$ 的最小值为_______.

答案    $2$.

解析    设题中实根为 $t$,则\[\begin{split} a^2+(b-4)^2&= a^2+(-t^2-at-1)^2\\ &=(t^2+1)((a+t)^2+1)\\ &\geqslant t^2+1\\ &\geqslant 2 ,\end{split}\]等号当 $a=-t$ 且 $t=1$ 时,即 $(a,b)=(-1,3)$ 时取得.因此所求最小值为 $2$.

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