每日一题[1591]杨不等式

实数 $x,y \in (1,+\infty)$,且 $xy-2x-y+1=0$,求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值.

答案    $15$.

解析    根据题意,有 $(x-1)(y-2)=1$,因此问题可以转化为已知 $a>0$,求 $m=\dfrac 32(a+1)^2+\left(\dfrac 1a+2\right)^2$ 的最小值.有\[\begin{split} 2m&=3a^2+\dfrac2{a^2}+6a+\dfrac 8a+11\\ &\geqslant (3+2+6+8)\left((a^2)^3\cdot \left(\dfrac{1}{a^2}\right)^2\cdot a^6\cdot \left(\dfrac 1a\right)^8\right)^{\frac{1}{3+2+6+8}}+11\\ &=30,\end{split}\]等号当 $a=1$ 时取得,因此所求最小值为 $15$,当 $(x,y)=(2,3)$ 时取得.

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