Math173

若 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的可导函数，且其导函数 $f'(x)$ 为增函数，则称 $f(x)$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数．

1、判断函数 $y=x^3$ 与 $y=\ln \dfrac 1x$ 是否为定义域上的凸函数；

2、设 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的凸函数，求证：若 $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1$，$\lambda_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），则对任意 $x_i\in(a,b)$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\cdots+\lambda_nf(x_n)\geqslant f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\cdots\lambda_nx_n\right);\]

3、设 $a,b,c>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 6$，求证：\[a^n+b^n+c^n\geqslant a^{n-5}b^3c^2+b^{n-5}c^3a^2+c^{n-5}a^3b^2.\]

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已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x{\rm e}^x-a{\rm e}^{2x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．

1、求实数 $a$ 的取值范围；

2、求证：$f(x_2)>-\dfrac 12$．

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已知函数 $f(x)=\left(x^2-x-1\right){\rm e}^x$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若方程 $a\left(\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}+1\right)+{\rm e}x={\rm e}^x$ 在 $(0,1)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x),g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}$，则 $\min\{f(x),g(x)\}$ 的最大值为_______．

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已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．

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已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$．

1、设 $a=0$，求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集；

2、求证：对任意 $a>0$，都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$；

3、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$，$f(x)$ 的值域为 $A$，试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件．

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已知 $f(x)=\left(x^3-ax\right)\ln\left(x^2+1-a\right)$，$x\in \mathbb R$．

1、若方程 $f(x)=0$ 有 $3$ 个实数解，求实数 $a$ 的取值范围；

2、在 $(1)$ 的条件下，是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恰有两个极值点 $x_1,x_2$ 且满足 $x_2=2x_1$，若存在，求实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，则下列命题正确的是（       ）

A．若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数

B．若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数

C．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数，则 $f(f(x))$ 也是 $\mathbb R$ 上的单调函数

D．若 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$，且方程 $f(x)=f^{-1}(x)$ 有零点，则方程 $f(x)=x$ 也有零点

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已知递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{a_n}=3n$，记 $b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}$，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为（       ）

A．$2^n+n$

B．$2^{n+1}-1$

C．$\dfrac{3^{n+1}-3n}2$

D．$\dfrac{3^{n+1}-3}2$

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有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 $m$ 月 $n$ 日，张老师把 $m$ 告诉了甲，把 $n$ 告诉了乙，然后张老师列出来如下 $10$ 个日期供选择，2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日，看完日期后，甲说“我不知道，但你也一定不知道”，乙听完甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问张老师的生日是_______．

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