每日一题[1203]单点突破

已知 $f(x)=\left(x^3-ax\right)\ln\left(x^2+1-a\right)$,$x\in \mathbb R$.

1、若方程 $f(x)=0$ 有 $3$ 个实数解,求实数 $a$ 的取值范围;

2、在 $(1)$ 的条件下,是否存在实数 $a$,使得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恰有两个极值点 $x_1,x_2$ 且满足 $x_2=2x_1$,若存在,求实数 $a$ 的值;若不存在,请说明理由.

    1、由于函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$,于是 $a<1$.此时\[f(x)=x\cdot \left(x^2-a\right)\cdot \ln\left(x^2-a+1\right),\]于是 $a>0$ 且方程 $f(x)=0$ 的解集为 $\left\{-\sqrt a,0,\sqrt a\right\}$.因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$.

2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2x^2\left(x^2-a\right)}{x^2-a+1}+\left(3x^2-a\right)\ln\left(x^2-a+1\right),\]于是 $x=\sqrt a$ 是函数 $f(x)$ 的一个极小值点.由于在区间 $\left(\sqrt a,1\right)$ 上,$f'(x)>0$,于是 $f(x)$ 在该区间内没有极值点.接下来证明 $x=\dfrac{\sqrt a}2$ 不是函数 $f(x)$ 的极值点.计算\[f'\left(\dfrac{\sqrt a}2\right)=\dfrac 14a\left[\dfrac{6a}{3a-4}-\ln\left(1-\dfrac{3a}4\right)\right],\]而当 $0<a<1$ 时,有\[\ln\left(1-\dfrac {3a}4\right)>1-\dfrac{1}{1-\dfrac{3a}4}=\dfrac{8-3a}{4-3a},\]于是\[f'\left(\dfrac{\sqrt a}2\right)<\dfrac{3a^2}{4(3a-4)}<0,\]因此不存在符合题意的实数 $a$.

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