每日一题[1207]端点分析

已知函数 $f(x)=\left(x^2-x-1\right){\rm e}^x$.

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间;

2、若方程 $a\left(\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}+1\right)+{\rm e}x={\rm e}^x$ 在 $(0,1)$ 内有解,求实数 $a$ 的取值范围.

    1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x(x-1)(x+2),\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,-2)&-2&(-2,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&5{\rm e}^{-2}&\searrow&-{\rm e}&\nearrow \\ \hline\end{array}\]

2、题中方程即\[a(x-1)-\dfrac{{\rm e}^x}{x}+{\rm e}=0,\]设方程左侧为函数 $\varphi(x)$,注意到 $\varphi(1)=0$,考虑其导函数\[\varphi'(x)=a+\dfrac{1-x}{x^2}\cdot {\rm e}^x,\]有 $\varphi'(1)=a$,端点分析可得 $a=0$ 为讨论分界点.

情形一    $a\geqslant 0$.此时 $\varphi(x)$ 的二阶导函数\[\varphi''(x)=-\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}\cdot {\rm e}^x,\]于是 $\varphi'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,结合 $\varphi'(1)\geqslant 0$ 可得 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,又 $\varphi(1)=0$,因此在 $(0,1)$ 上 $\varphi(x)<0$,不符合题意.

情形二    $a<0$.此时取 $x_1=\min\left\{\dfrac 12,\sqrt{\dfrac{1}{-2a}}\right\}$,则\[\varphi'(x_1)>a+\dfrac{1-x}{x^2}\geqslant a+\dfrac 1{2x^2}\geqslant 0,\]于是 $\varphi'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点,设为 $m$,进而\[\begin{array} {c|cccc}\hline x&(0,m)&m&(m,1)&1\\ \hline \varphi'(x)&+&0&-& \\ \hline \varphi(x)&\nearrow&+&\searrow &0\\ \hline \end{array}\]又当 $x_2=\dfrac{\rm e}{-a+{\rm e}}$ 时,有\[\varphi(x_2)<-a-\dfrac{\rm e}{x}+{\rm e}=0,\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$.

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每日一题[1207]端点分析》有 2 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    第2问,求\(a\)的范围使得\(ax(x-1)={\rm e}^x-{\rm e} x\)在\( (0,1)\)内有解.
    容易看出右侧的函数\(y= {\rm e}^x-{\rm e} x\)在\( (0,1)\)上递减、下凸、恒正.
    于是得到必要条件\(a0\),\(f(1)=0\),\(f'(1)=-a>0\),因此当\(x\)足够接近\(1\)时,\[f(x){\rm e}(x-1)-a(2x-1)=({\rm e}-2a)x-({\rm e}-a).\]
    所以当\(\dfrac{{\rm e}-a}{{\rm e}-2a}<x0\).因此\(f\left(\dfrac{{\rm e}-a}{{\rm e}-2a}\right)<0\).故\(f(x)\)在\(\left(0,\ \dfrac{{\rm e}-a}{{\rm e}-2a}\right)\)上有零点.

  2. yesterday yesterday说:

    今天的排版好像有点问题,情形一,二那儿.

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