每日一题[1208]极值估计

已知 $a$ 是实数,函数 $f(x)=x{\rm e}^x-a{\rm e}^{2x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$($x_1<x_2$).

1、求实数 $a$ 的取值范围;

2、求证:$f(x_2)>-\dfrac 12$.

    1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x\left(1+x-2a{\rm e}^x\right).\]函数 $f(x)$ 有两个极值点,于是函数 $f'(x)$ 有两个变号零点,设\[\varphi(x)=1+x-2a{\rm e}^x,\]则其导函数\[\varphi'(x)=1-2a{\rm e}^x.\] [[case]]情形一[[/case]] $a\leqslant 0$.此时 $\varphi'(x)\geqslant 0$,于是 $\varphi(x)$ 单调递增,不可能有两个零点. [[case]]情形二[[/case]] $a>0$.此时\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,-\ln(2a))&-\ln(2a)&(-\ln(2a),+\infty)\\ \hline \varphi'(x)&+&0&-\\ \hline \varphi(x)&\nearrow&-\ln(2a)&\searrow\\ \hline \end{array}\]注意到\[\varphi(-1)=-2a{\rm e}^{-1}<0,\]且取 $x_1=\max\left\{1,\dfrac 2a\right\}$,有\[\varphi(x)<1+x-2a\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\leqslant 2x-ax^2\leqslant 0,\]于是当 $-\ln (2a)>0$ 即 $0<a<\dfrac 12$ 时,函数 $\varphi(x)$ 有两个变号零点,符合题意. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$.

2、根据题意,有\[1+x_2-2a{\rm e}^{x_2}=0\]且 $x_2>-\ln(2a)$.于是\[a=\dfrac{1+x_2}{2{\rm e}^{x_2}},\]从而\[f(x_2)=x_2{\rm e}^{x_2}-a{\rm e}^{2x_2}=\dfrac{(x_2-1){\rm e}^{x_2}}{2}.\]设\[\mu(x)=\dfrac{(x-1){\rm e}^x}2,\]则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{x{\rm e}^x}2,\]于是当 $x=0$ 时,$\mu(x)$ 取得极小值,亦为最小值\[\mu(0)=-\dfrac 12,\]因此\[f(x_2)>-\dfrac 12,\]原命题得证.

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