每日一题[1206]设而不求

已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x),g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}$,则 $\min\{f(x),g(x)\}$ 的最大值为_______.

    $\dfrac{\sqrt 2}8$.

根据题意,设\[\begin{cases} f(x)=\dfrac{x}{x^2+8}+h(x),\\ g(x)=\dfrac{x}{x^2+8}-h(x),\end{cases}\]则\[\begin{split}\min\{f(x),g(x)\}&=\dfrac{x}{x^2+8}-|h(x)|\\ &=\begin{cases}\dfrac{1}{x+\dfrac 8x}-|h(x)|,&x\ne 0,\\ -|h(0)|,&x=0,\end{cases}\\ &\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt 2},\end{split}\]等号当\[\begin{cases} x=2\sqrt 2,\\ h(2\sqrt 2)=0,\end{cases}\]时取得,因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}8$.

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