每日一题[1204]对数的进阶放缩

已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$.

1、设 $a=0$,求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集;

2、求证:对任意 $a>0$,都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$;

3、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$,$f(x)$ 的值域为 $A$,试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件.

    1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x{\rm e}^x-a,\]当 $a=0$ 时,有\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline \end{array}\]此时题中不等式的解集为 $\{0\}$.

2、欲证结论即\[\forall a>0,\left(\ln(1+a)-1\right)(1+a)-a\ln (1+a)+1<0,\]也即\[\forall a>0,\ln(1+a)-a<0,\]于是原命题得证.

3、注意到 $f(0)=0$,且函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减,于是 $t\geqslant 0$.又\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)=1-a+{\rm e}^t\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)-1\right).\]考虑到当 $x>1$ 时,有\[\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]于是\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>1-a+{\rm e}^t\left[\dfrac{2\left({\rm e}^t+a-1\right)}{{\rm e}^t+a+1}-1\right]=\dfrac{\left({\rm e}^t-1\right)^2-a^2}{{\rm e}^t+a+1}.\]当 $t>0$ 时,取 $a={\rm e}^t-1$,则有\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>0,\]不符合题意.而当 $t=0$ 时,根据第 $(2)$ 小题的结论,满足题意. 综上所述,所求充要条件为 $t=0$.

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每日一题[1204]对数的进阶放缩》有 1 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    第3问,先找必要条件。
    依题意,\(\forall a>0\),有
    $$f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)=1-a+{\rm e}^t\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)-1\right)\le 0.$$
    令\(g(a)=1-a+{\rm e}^t\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)-1\right)\),则
    $$g\prime(a)=\dfrac{{\rm e}^t}{{\rm e}^t+a}-1=-\dfrac{a}{{\rm e}^t+a}<0.$$
    所以,\(g(a)\)在\( (0,\ +\infty) \)上单调递减,故
    $$g(0)=(t-1){\rm e}^t+1\le 0.$$
    根据第1问的结论,\(t=0\)。
    当\(t=0\)时,根据第2问的结论,充分性得证。
    综上所述,所求的充要条件为\(t=0\)。

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