每日一题[1733]消元

设 $a,b,c$ 均大于 $1$,满足\[\begin{cases} \lg a+{\log_b}c=3,\\ \lg b+{\log_a}c=4,\end{cases}\]求 $\lg a\cdot \lg c$ 的最大值.

答案    $\dfrac{16}3$.

解析    记分别记 $\lg a,\lg b,\lg c$ 为 $x,y,z$,则 $x,y,z>0$ 且\[\begin{cases} x+\dfrac zy=3,\\ y+\dfrac zx=4,\end{cases}\implies \begin{cases} xy+z=3y,\\ xy+z=4x,\end{cases}\]设 $x=3t$,$y=4t$,则 $z=12t-12t^2$,其中 $t\in (0,1)$,因此\[\lg a\cdot \lg c=xz=3t(12t-12t^2)=18\cdot (t\cdot t\cdot (2-2t))\leqslant 18\cdot \left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{16}3,\]等号当 $t=\dfrac 23$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac{16}3$.

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