每日一题[1738]分而治之

设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$,$abc>0$.求证:\[ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.\]

解析    不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$,则 $a\geqslant \dfrac 13$.只需要考虑 $ab+bc+ca>\dfrac 14$ 的情形,尝试证明\[\left(ab+bc+ca-\dfrac14\right)^2<\dfrac{abc}4,\]一方面,有\[ab+bc+ca-\dfrac14\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac 14=\dfrac1{12}\leqslant \dfrac a4,\]取等条件为 $a=\dfrac 13$.另一方面,有\[ab+bc+ca-\dfrac 14=a(b+c)+bc-\dfrac 14=a(1-a)+bc-\dfrac14\leqslant bc,\]取等条件为 $a=\dfrac 13$,因此原不等式得证.

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