每日一题[1735]轮换式分解

设实数 $x,y$ 满足 $x^3+27y^3+9xy=1$,则(       )

A.$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$

B.$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac{27}{64}$

C.$x^3y$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$

D.$x^3y$ 无最小值

答案    AD.

解析    根据题意,有\[x^3+(3y)^3+(-1)^3=3\cdot x\cdot 3y\cdot (-1),\]因此有\[(x+3y-1)(x^2+9y^2+x+3y-3xy+1)=0\iff x+3y=1\lor x=3y=-1.\]当 $x=3y=-1$ 时,$x^3y=\dfrac 13$.当 $x+3y=1$ 时,有\[x^3y=\dfrac{x^3(1-x)}3,\]设右侧函数为 $f(x)$,则\[f'(x)=\dfrac{x^2(3-4x)}3,\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline x&-\infty&\left(-\infty,\dfrac 34\right)&\dfrac 34&\left(\dfrac 34,+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac9{256}&\searrow &-\infty\\ \hline \end{array}\] 因此函数 $f(x)$ 没有最小值,最大值为 $\dfrac9{256}$. 综上所述,$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$,没有最小值.

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