每日一题[1730]步步高

设整数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2019}$ 满足 $1=a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_{2019}=99$.记\[f=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2)-(a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+\cdots+a_{2017}a_{2019}),\]求 $f$ 的最小值 $f_0$,并确定使 $f=f_0$ 成立的数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_{2019})$ 的个数.

答案    $f_0=7400$,确定使 $f=f_0$ 成立的数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_{2019})$ 的个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{1968}^{48}$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} 2f&=a_1^2+a_2^2+a_{2018}^2+a_{2019}^2+\sum_{k=1}^{2017}(a_{k+2}-a_k)^2\\ &\geqslant a_1+a_2+a_{2018}^2+a_{2019}^2+\sum_{k=1}^{2017}(a_{k+2}-a_k)\\ &=a_{2017}+a_{2018}+(a_{2019}-a_{2017})^2+a_{2018}^2+a_{2019}^2\\ &\geqslant 2a_{2017}+(99-a_{2017})^2+a_{2017}^2+99^2\\ &=2(a_{2017}-49)^2+7400\\ &\geqslant 7400,\end{split}\]等号取得的条件为\[\begin{cases} a_1=a_2=1,\\ a_3-a_1,a_4-a_2,\cdots,a_{2019}-a_{2017}\in\{0,1\},\\ a_{2018}=a_{2017}=49,\end{cases}\]因此 $f$ 的最小值 $f_0=7400$.使 $f=f_0$ 成立的数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_{2019})$ 的个数即将 $2018$ 个小球放入编号 $1,2,\cdots,49$ 的 $49$ 个盒子中且每个盒子至少放 $2$ 个小球的方法数,为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{1968}^{48}$.

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