已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$．
每日一题[1375]最小角和最大角
已知 $P$ 是直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面 $A_1B_1C_1$ 上一点，$Q$ 为直线 $BC$ 上的动点，若直线 $PA$ 与 $AQ$ 所角的最小值和直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值相等，则满足条件的点 $P$ 的轨迹是（ ）
A．直线的一部分
B．圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．以上答案都不对
每日一题[1374]顶点弦代换
中心为原点 $O$ 的椭圆的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 为该椭圆右顶点，$P$ 为椭圆上一点，若 $\angle OPA=90^\circ$，则该椭圆的离心率的取值范围是_______．
每日一题[1373]冻结变量
已知动点 $P$ 在直线 $l:2x+y-2=0$ 上，过点 $P$ 作互相垂直的直线 $PA,PB$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $AB$ 的中点，$O$ 为坐标原点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}$ 的最小值是_______．
每日一题[1372]单位化
已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases} x-5y+12\leqslant 0,\\ x+y\geqslant 0,\\ x-3\leqslant 0,\end{cases}$ 则 $z=\dfrac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
B．$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}2\right]\cup \left[\dfrac{3\sqrt 2}2,+\infty\right)$
C．$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$
D．$[-1,1]$
每日一题[1371]盲区
如图，正方形 $ABC$ 的边长为 $20$ 米，圆 $O$ 的半径为 $1$ 米，圆心是正方形的中心，点 $P,Q$ 分别在线段 $AD,CB$ 上，若线段 $PQ$ 与圆 $O$ 有公共点，则称点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中，已知点 $P$ 以 $1.5$ 米/秒的速度从 $A$ 出发向 $D$ 移动，同时，点 $Q$ 以 $1$ 米/秒的速度从 $C$ 出发向 $B$ 移动，则在点 $P$ 从 $A$ 移动到 $D$ 的过程中，点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中的时长为_______．
每日一题[1369]恰好平行
已知点 $P,Q$ 在 $\triangle ABC$ 中，且\[\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+5\overrightarrow{QC}=\overrightarrow 0,\]则 $\dfrac{|PQ|}{|AB|}=$ （ ）
A．$\dfrac 1{30}$
B．$\dfrac 1{15}$
C．$\dfrac 1{10}$
D．$\dfrac 2{15}$
每日一题[1368]垂心的性质
已知锐角 $\triangle ABC$ 中 $A=\dfrac{\pi}6$，$H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心且 $AH=\sqrt 3$，则 $\sqrt 3BH+CH$ 的取值范围是_______．
每日一题[1367]空间中的旋转
将空间直角坐标系 $O-xyz$ 的坐标轴绕某条过 $O$ 的直线 $l$ 旋转，使 $Ox$ 轴转转到 $Oy$ 轴，$Oy$ 轴旋转到 $Oz$ 轴，则最小的旋转正角是_______．