每日一题[1779]割补

设 $A(2,0)$ 为平面上的一定点,$P(\sin(2t-60^\circ),\cos(2t-60^\circ))$ 为动点,则当 $t$ 由 $15^\circ$ 变到 $45^\circ$ 时,线段 $AP$ 所扫过的图形的面积是_______.

答案    $\dfrac{\pi}6$.

解析    根据题意,$P$ 点轨迹是从 $P_1\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$ 到 $P_2\left(\dfrac{\pi}3:1\right)$ 的圆弧,因此线段 $AP$ 所到过的图形即图中阴影部分.

考虑到 $\triangle P_1OA$ 与 $\triangle P_2OA$ 的面积相同,因此曲边三角形 $AP_1P_2$ 的面积与扇形 $OP_1P_2$ 的面积相同,为 $\dfrac{\pi}6$.

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