每日一题[1774]抓“公比“

设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足\[\begin{cases} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4},\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_3}+\dfrac 1{a_4}+\dfrac 1{a_5}\right)=S,\end{cases}\]其中 $S$ 为实数且 $|S|\leqslant 2$.求证:复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

解析    设 $a_2=a_1\cdot q$,则 $a_3=a_1\cdot q^2$,$a_4=a_1\cdot q^3$,$a_5=a_1\cdot q^4$,问题转化为证明 $|q|=1$.根据题意,有\[a_1\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=\dfrac4{a_1q^4}\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right),\]即\[\left(a_1q^2+2\right)\left(a_1q^2-2\right)\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=0.\] [[case]]情形一[[/case]] $1+q+q^2+q^3+q^4=0$.此时\[\dfrac{1-q^5}{1-q}=0\implies |q|=1,\]命题得证. [[case]]情形二[[/case]] $a_1q^2=\pm 2$.此时\[\dfrac1{q^2}+\dfrac1q+1+q+q^2=\dfrac{S}{a_3},\]即\[\left(q+\dfrac 1q\right)^2+\left(q+\dfrac1q\right)-1\mp\dfrac{S}2=0,\]由于 $|S|\leqslant 2$,该关于 $q+\dfrac 1q$ 的二次方程有 $2$ 个在 $[-2,2]$ 内的实根,设 $q=(\theta:r)$,则\[q+\dfrac 1q\in [-2,2]\iff \left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta=0\implies \begin{cases} \left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta\in [-2,2],\\ \left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta=0,\end{cases}\implies r=1,\]命题得证. 综上所述,有 $|q|=1$,命题得证.

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