每日一题[1775]内忧外患

已知集合 $A=\big\{(x,y)\mid |x|+|y|=a,a>0\big\}$,$B=\big\{(x,y)\mid |xy|+1=|x|+|y|\big\}$.若 $A\cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 $a$ 的值为_______.

答案    $\sqrt 2$ 或 $2+\sqrt 2$.

解析    根据题意,$A$ 是 $(0,a),(-a,0),(0,-a),(a,0)$ 围成的正方形,$B$ 是 $4$ 条直线 $x=\pm 1$ 和 $y=\pm 1$,如图.

按 $a$ 与 $1$ 的大小关系讨论,可得 $a=\sqrt 2$ 或 $a=2+\sqrt 2$.

 

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