每日一题[1777]俄罗斯套娃

平面上有三个点集 $M,N,P$:\[\begin{split} M&=\{(x,y)\mid |x|+|y|<1\},\\ N&=\{(x,y)\mid \left\{\sqrt{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2}<2\sqrt 2\right\},\\ P&=\{(x,y)\mid |x+y|<1,|x|<1,|y|<1\},\end{split}\]则(       )

A.$M\subsetneqq P\subsetneqq N$

B.$M\subsetneqq N\subsetneqq P$

C.$P\subsetneqq P\subsetneqq M$

D.以上答案均不正确

答案    A.

解析    如图,$A(1,0)$,$B(0,1)$,$C(-1,0)$,$D(0,-1)$,$E(-1,1)$,$F(1,-1)$.

根据题意,集合 $M$ 为正方形 $ABCD$,$N$ 是以 $EF$ 为长轴,过点 $A,B,C,D$ 的椭圆,$P$ 是多边形 $ABECDF$.因此 $M\subsetneqq P\subsetneqq N$.

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