每日一题[1772]诱导

设 $f(x)=x^2-\pi x$,$\alpha=\arcsin\dfrac 13$,$\beta=\arctan\dfrac 54$,$\gamma=\arccos\left(-\dfrac 13\right)$,$\delta=\mathop{\rm arccot}\left(-\dfrac 54\right)$,则(       )

A.$f(\alpha)>f(\beta)>f(\delta)>f(\gamma)$

B.$f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$

C.$f(\delta)>f(\alpha)>f(\beta)>f(\gamma)$

D.$f(\delta)>f(\alpha)>f(\gamma)>f(\beta)$

答案    B.

解析    由于 $f(\pi -x)=f(x)$,考虑将所有数诱导到函数 $f(x)$ 的单调递减区间 $\left(-\infty,\dfrac{\pi}2\right)$ 上来.考虑到\[\begin{cases} \beta=\arcsin\dfrac{5}{\sqrt{41}},\\ \pi -\gamma =\arccos\dfrac 13=\arcsin\dfrac{2\sqrt 2}{3},\\ \pi-\delta=\mathop{\rm arccot}\dfrac 54=\arcsin\dfrac{4}{\sqrt{41}},\end{cases}\]且\[\arcsin\dfrac13<\arcsin\dfrac4{\sqrt{41}}<\arcsin\dfrac5{\sqrt{41}}<\arcsin\dfrac{2\sqrt 2}3,\]于是 $f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$.

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