每日一题[1797]等比放缩

已知 $f(x)={\rm e}^x-x-1$($\rm e$ 为自然对数的底数).

1、求证:$f(x)\geqslant 0$ 恒成立.

2、求证:$\left(\dfrac 1{2n}\right)^n+\left(\dfrac 3{2n}\right)^n+\left(\dfrac 5{2n}\right)^n+\cdots +\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^n<\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}$ 对一切正整数 $n$ 均成立.

解析

1、即导数中的基本放缩.

2、注意到右边\[\dfrac{\sqrt {\rm e}}{{\rm e}-1}=\dfrac{{\rm e}^{-\frac 12}}{1-{\rm e}^{-1}}>\sum_{k=1}^n{\rm e}^{\frac 12-k},\]结合左侧各项的大小顺序,尝试证明\[\left(1-\dfrac{2k-1}{2n}\right)^n\leqslant {\rm e}^{\frac 12-k}\iff 1-\dfrac{2k-1}{2n}\leqslant {\rm e}^{-\frac{2k-1}{2n}},\]根据第 $(1)$ 小题的结果,命题得证.

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