每日一题[1794]焦半径合璧

已知 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点,点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $C$ 上.若 $x_1+x_2=\dfrac 12$,且 $\overrightarrow{AF_2}=\lambda \overrightarrow{F_2B}$,求 $\lambda$ 的值.

答案    $\dfrac{3\pm \sqrt 5}2$.

解析    设 $\angle AF_2F_1=\theta$,椭圆的半长轴 $a=2$,半短轴 $b=\sqrt 3$,半焦距 $c=1$,离心率 $e=\dfrac 12$,于是根据焦半径公式 $\tt I$ 和焦半径公式 $\tt II$,有\[\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta}=a-ex_1\iff \dfrac{x_1}{a}=\dfrac{e-\cos\theta}{1-e\cos\theta},\]类似的,有\[\dfrac{x_2}{a}=\dfrac{e+\cos\theta}{1+e\cos\theta},\]于是\[\dfrac{x_1+x_2}a=\dfrac 14\implies \dfrac{2e\sin^2\theta}{1-e^2\cos^2\theta}=\dfrac 14\implies \cos\theta=\pm\dfrac{2}{\sqrt 5},\]于是\[\lambda=\dfrac{1-e\cos\theta}{1+e\cos\theta}=\dfrac{3\pm\sqrt 5}2.\]

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