每日一题[1792]基本事件

有 $5$ 个乒乓球,其中有 $3$ 个是新球,$2$ 个是旧球(即至少用过一次的球).每次比赛,都拿其中的 $2$ 个球用,用完后全部放回.设第二次比赛时取到新球的个数为 $\xi$,则 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _______.

答案    $\dfrac{18}{25}$.

解析    用 $A_1,A_2,A_3$ 表示新球,$B_1,B_2$ 表示旧球,则可以用 $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2\}$ 抽取两个二元组形成一个二元组排列记录一个基本事件(如 $(A_1A_2)(A_1B_2)$,这样的事件共有 $\mathop{\rm C}\nolimits_5 ^2\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2=100$ 个,第二个二元组首次出现的 $A$ 的数量为即为 $\xi$.

情形一    第一个二元组为 $(B_1B_2)$.此时总新球数为 $12$.

情形二    第一个二元组为 $(A_iB_j)$.此时总新球数为 $6\cdot 8=48$.

情形三    第一个二元组为 $(A_iB_j)$.此时总新球数为 $3\cdot 4=12$.

综上所述,所求数学期望为 $\dfrac{12+48+12}{100}=\dfrac{18}{25}$.

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