每日一题[1791]对称换元

已知正整数 $x,y,z$ 满足条件 $xyz=(14-x)(14-y)(14-z)$，且 $x+y+z<28$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最大值为_______．

答案    $219$．

解析    不妨设 $(x,y,z)=(7+a,7+b,7+c)$，$a,b,c\in\mathbb Z$，且\[\begin{cases} -6\leqslant a,b,c\leqslant 6,\\ a+b+c\leqslant 6,\end{cases}\]则\[xyz=(14-x)(14-y)(14-z)\iff (7+a)(7+b)(7+c)=(7-a)(7-b)(7-c),\]展开整理得\[49(a+b+c)=-abc,\]由于左侧能被 $7^2$ 整除，而 $-6\leqslant a,b,c\leqslant 6$，于是 $a,b,c$ 中至少有一个为 $0$，不妨设为 $a $．进而 $ b+c=0 $，此时\[x^2+y^2+z^2=147+b^2+c^2\leqslant 147+6^2+(-6)^2=219,\]等号当 $ |b|=|c|=6 $ 时取得，因此所求最大值为 $ 219$．