Math173

已知 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为底边 $BC$ 上一点，且 $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$，$P,Q$ 分别为 $AB,AC$ 上一点，$PQ$ 与 $AD$ 交于点 $R$，$\dfrac{AD}{AR}=\mu_0$，$\dfrac{AB}{AP}=\mu_1$，$\dfrac{AC}{AQ}=\mu_2$，求证：$\mu_0=\dfrac{\mu_1+\lambda\cdot \mu_2}{1+\lambda}$．

如图，圆 $O$ 为直角三角形 $ABC$ 的内切圆，已知 $AC=3$，$BC=4$，$\angle C$ 为直角，过圆心 $O$ 的直线 $l$ 交圆于 $P,Q$ 两点，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的取值范围是_______．

已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\dfrac 52$，$2a_{n+1}=a_n^2+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），若 $\dfrac{2a_1-1}{a_1+1}+\dfrac{2a_2-1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{2a_{2018}-1}{a_{2018}+1}>m$ 成立，则整数 $m$ 的最大值为_______．

$\dfrac {1-2{\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2}{ {\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3+ {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2+ {\log_{15}}2 \cdot {\log_6}5}$ 的值为_______．

解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$．

解方程：$8x^3-6x-1=0$．

求证：各项均为正整数且有一项为完全平方数的无穷等差数列中必然有无穷多项为完全平方数．

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足对任意的 $x\in[-1,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$，求证：对任意 $x\in[-1,1]$，有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

是否存在正整数 $x,y$，使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数？