已知一段斜坡长度为 $a$，$A$ 在坡顶以速率 $v_1$ 向坡底运动，$B$ 在坡底以速率 $v_2$ 向坡顶运动．$C$ 的起始位置与 $A$ 相同，下坡的速率为 $v_3$（$v_3>v_1$），上坡的速率为 $v_4$（$v_4>v_2$），且 $C$ 在 $A,B$ 之间往复运动（每当遇到 $A$ 或 $B$ 时改变方向）．求当 $A$ 与 $B$ 相遇时，$C$ 总共运动的路程．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac 19\left(a_n+2\sqrt{4a_n+1}+2\right)$．
1、求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$，求证：$T_n>\dfrac {4n}3-\dfrac {14}9$．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$，过 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AB,CD$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，求证：直线 $MN$ 恒过定点．
一个国际象棋棋盘（由 $8\times 8$ 个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成 $19$ 块“L”形骨牌
B．至多能剪成 $20$ 块“L”形骨牌
C．一定能剪成 $21$ 块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
已知直线过定点 $P(1,1)$，且与抛物线 $x^2=4y$ 交于 $A,B$ 两点，$l_1,l_2$ 分别过 $A,B$ 两点且与抛物线相切．设 $l_1,l_2$ 交点为 $C$．
1、求交点 $C$ 的轨迹方程．
2、求三角形 $ABC$ 面积的最小值．
已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系式：$2a_{n+1}=1-a_{n}^{2}(n\geqslant 1,n\in\mathbb N)$，且 $0<a_{1}<1$．
1、求 $a_{3}$ 的取值范围．
2、用数学归纳法证明：当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时，$\left|a_{n}-\left(\sqrt 2-1\right)\right|<\dfrac{1}{2^{n}}$．
3、若 $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$，求证：当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时 $\left|b_{n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^{n}}$．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{2a_n}$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(a_n-\sqrt n\right)=$ ______．
设 \[ A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \] 是由 $1,2,3,\cdots,n^2$ 组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表（每个数恰好出现一次），$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb{N}^{*}$．若存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，使得 $a_{ij}$ 既是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则称数表 $A$ 为一个“好数表”，$a_{ij}$ 为数表 $A$ 的一个“好值”．对任意给定的 $n$，所有“好数表”构成的集合记作 $\Omega_n$．
1、给出数表 \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix} 1&4&7\\ 8&2&5\\ 6&9&3 \end{pmatrix}, \]判断 $A,B$ 是否是“好数表”，若是，写出它的一个“好值”．
2、求证：若数表 $A$ 是“好数表”，则 $A$ 的“好值”是唯一的．
3、在 $\Omega_{19}$ 中随机选取一个数表 $A$，记 $A$ 的“好值”为 $X$，求 $X$ 的数学期望 $E(X)$．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $P(0,1)$ 是椭圆的上顶点，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，过点 $O(0,0)$ 作直线 $l$ 交椭圆于点 $A,B$ 两点（异于点 $P$）．
1、求椭圆方程．
2、设直线 $PA$ 的斜率为 $k$，线段 $PB$ 的中垂线与 $y$ 轴交于点 $E$，若点 $E$ 在椭圆的外部，求斜率 $k$ 的取值范围．
在三棱锥 $A-BCD$ 中，$BC=BD=AC=AD=10$，$AB=6$，$CD=16$，点 $P$ 在平面 $ACD$ 内，且 $BP=\sqrt{30}$，设异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角为 $\alpha$，则 $\sin\alpha$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
B．$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
C．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
D．$\dfrac{\sqrt 5}5$
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