每日一题[1464]面积坐标公式

已知直线过定点 $P(1,1)$,且与抛物线 $x^2=4y$ 交于 $A,B$ 两点,$l_1,l_2$ 分别过 $A,B$ 两点且与抛物线相切.设 $l_1,l_2$ 交点为 $C$.

1、求交点 $C$ 的轨迹方程.

2、求三角形 $ABC$ 面积的最小值.

解析

1、设 $A(4a,4a^2)$,$B(4b,4b^2)$,则\[AB:y=(a+b)x-4ab,\]设 $C(x_0,y_0)$,则\[AB:x_0x=2(y+y_0),\]因此 $C(2a+2b,4ab)$,根据题意,有\[1=a+b-4ab,\]于是点 $C$ 的轨迹方程为\[x-2y-2=0.\]

2、根据三角形面积坐标公式,有\[\begin{split} \overline S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12\begin{vmatrix} 2a-2b& 4a^2-4ab\\ 2b-2a&4b^2-4ab\end{vmatrix}\\ &=4(a-b)^3,\end{split}\]设 $m=4a-1$,$n=4b-1$,且 $mn=-3$.进而三角形 $ABC$ 的面积\[S=\dfrac{|m-n|^3}{16}\geqslant \dfrac{\left(2\sqrt 3\right)^3}{16}=\dfrac{3\sqrt 3}2,\]等号当 $m=-n=\sqrt 3$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$.

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