每日一题[2015]面积坐标公式

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{m^{2}}=1$($0<m<5$)的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$,$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点.

1、求 $C$ 的方程.

2、若点 $P$ 在 $C$ 上,点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上,且 $|B P|=|B Q|$,$BP \perp B Q$,求 $\triangle A P Q$ 的面积.

解析

1、椭圆 $C$ 的半长轴长 $a=5$,结合离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$,可得其半焦距为 $\dfrac{5\sqrt{15}}4$,因此椭圆 $C$ 的半短轴长 $b=\dfrac 54$,因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{\dfrac{25}{16}}=1$.

2、不妨设 $Q(6,t)$($ t>0 $),则由 $ |B P|=|B Q| $,$ BP \perp B Q $,可得 $ P(5-t,1)$,进而\[\dfrac{(5-t)^2}{25}+\dfrac{1}{\dfrac {25}{16}}=1,\]解得 $ t=2 $ 或 $ t=8 $.

情形一     $ t=2 $.此时 $ P(3,1)$,$ Q(6,2)$,$ A(-5,0)$,进而 $ \overrightarrow{AP}=(8,1)$,$ \overrightarrow{AQ}=(11,2)$,因此 $ \triangle APQ$ 的面积为\[\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.\]

情形二     $ t=8 $.此时 $ P(-3,1)$,$ Q(6,8)$,$ A(-5,0)$,进而 $ \overrightarrow{AP}=(2,1)$,$ \overrightarrow{AQ}=(11,8)$,因此 $ \triangle APQ$ 的面积为\[\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.\]

综上所述,$\triangle APQ$ 的面积为 $\dfrac 52$.

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