已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{m^{2}}=1$（$0<m<5$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．
1、求 $C$ 的方程．
2、若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|$，$BP \perp B Q$，求 $\triangle A P Q$ 的面积．
解析
1、椭圆 $C$ 的半长轴长 $a=5$，结合离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，可得其半焦距为 $\dfrac{5\sqrt{15}}4$，因此椭圆 $C$ 的半短轴长 $b=\dfrac 54$，因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{\dfrac{25}{16}}=1$．
2、不妨设 $Q(6,t)$（$ t>0 $），则由 $ |B P|=|B Q| $，$ BP \perp B Q $，可得 $ P(5-t,1)$，进而\[\dfrac{(5-t)^2}{25}+\dfrac{1}{\dfrac {25}{16}}=1,\]解得 $ t=2 $ 或 $ t=8 $．
情形一 $ t=2 $．此时 $ P(3,1)$，$ Q(6,2)$，$ A(-5,0)$，进而 $ \overrightarrow{AP}=(8,1)$，$ \overrightarrow{AQ}=(11,2)$，因此 $ \triangle APQ$ 的面积为\[\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.\]
情形二 $ t=8 $．此时 $ P(-3,1)$，$ Q(6,8)$，$ A(-5,0)$，进而 $ \overrightarrow{AP}=(2,1)$，$ \overrightarrow{AQ}=(11,8)$，因此 $ \triangle APQ$ 的面积为\[\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.\]
综上所述，$\triangle APQ$ 的面积为 $\dfrac 52$．