每日一题[2008]曲线联立

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合,$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合.过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点,交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点,且 $|CD|=\dfrac 43|AB|$.

1、求 $C_1$ 的离心率.

2、设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点.若 $|MF|=5$,求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程.

解析   

1、根据题意,抛物线 $C_2:y^2=4cx$,其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}$.根据抛物线和椭圆的通径长公式,可得\[\begin{cases} |CD|=4c,\\ |AB|=\dfrac{2b^2}a,\end{cases}\implies 4c=\dfrac 43\cdot \dfrac{2b^2}a\iff 2(a^2-c^2)=3ac,\]解得 $\dfrac ca=\dfrac 12$,从而 $C_1$ 的离心率为 $\dfrac 12$.

2、利用第 $(1)$ 小题的结果,有 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=c^2$,$C_2:y^2=4cx$,联立可得 $M$ 点的横坐标满足\[\dfrac{x^2}4+\dfrac{4cx}3=c^2,\]解得 $x=-6c$(舍去)或 $x=\dfrac{2c}3$.根据抛物线的定义,有\[|MF|=5\iff \dfrac{2c}3+c=5\iff c=3,\]因此 $C_1$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1$,$C_2$ 的标准方程为 $y^2=12x$.

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