每日一题[2014]对勾三角函数

关于函数 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题:

① $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

② $f(x)$ 的图象关于原点对称.

③ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称.

④ $f(x)$ 的最小值为 $2 $.

其中所有真命题的序号是_______.

答案    ②③.

解析   

命题 ①②     函数 $f(x)$ 是奇函数,图象关于 $(0,0)$ 对称,命题 ① 错误,命题 ② 正确;

命题 ③     注意到\[f(\pi-x)=\sin(\pi-x)+\dfrac{1}{\sin(\pi -x)}=\sin x+\dfrac1{\sin x}=f(x),\]因此命题 ③ 正确;

命题 ④     当 $x=-\dfrac{\pi}2$ 时,$f(x)=-2$,因此命题 ④ 错误.

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