每日一题[1938]递推公式

已知无穷数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数,$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列,且对任意正整数 $n$ 都有 $S_{n^2}=\left(S_n\right)^2$ 成立,

1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项.

2、若数列 $\{a_n\}$ 的各项互不相等,其前 $n$ 项构成集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$,定义 $\overrightarrow a_n=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 且\[V=\left\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\mid b_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]设 $\overrightarrow b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 且 $\overrightarrow b\in V$,定义\[\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n,\]在此基础上,定义 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 的扩充集\[\Gamma_n=\left\{x\mid x=\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b,\overrightarrow b\in V,x\in\mathbb N^{\ast}\right\},\]且对于任意 $\overrightarrow m,\overrightarrow n\in V$ 且 $\overrightarrow m\ne \overrightarrow n$,只要 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m,\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n\in \mathbb N^{\ast}$,就有 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m\ne \overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n$,且 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=0$ 等价于 $\overrightarrow b=(0,0,\cdots,0)$.若 $\Gamma_n=\{1,2,\cdots,S_n\}$,求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

解析

1、设 $S_n=\alpha n^2+\beta n$,则\[\alpha n^4+\beta n^2 =(\alpha n^2+\beta n)^2\iff \begin{cases} \alpha=\alpha^2,\\ 0=2\alpha\beta,\\ \beta=\beta^2,\end{cases}\]于是 $(\alpha,\beta)=(0,1),(1,0)$,从而 $a_n=1$ 或 $a_n=2n-1$($n\in\mathbb N^{\ast}$)

2、考虑 $\Gamma_{n+1}$,则那么\[\Gamma_{n+1}=\Gamma_n\cup \{ x+a_{n+1}\mid x\in \Gamma_n\}\cup\{ |x-a_{n+1}|\mid x\in\Gamma_n\}\cup\{a_{n+1}\},\]其元素个数\[S_{n+1}=3S_n+1\implies S_{n+1}+\dfrac 12=3\left(S_n+\dfrac 12\right),\]结合 $S_1=a_1=1$,可得 $S_n=\dfrac{3^n-1}2$,进而 $a_n=3^{n-1}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

备注    可以利用三进制来理解 $\{a_n\}$ 符合要求,此时前 $n$ 项为\[1,10,100,1000,\cdots,1\underbrace{0\cdots0}_{n-1},\]它们中若干项的和以及差(取正的),为\[2,11,12,101,102,110,111,112,\cdots,\]这样就构成了从 $1$ 到 $\underbrace{11\cdots 1}_n$ 的所有数.

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