每日一题[1936]细心讨论

已知函数 $f(x)=ax^3-(3a-2)x^2-8x+12a+7$,$g(x)=\ln x$,记 $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$,若 $h(x)$ 至少有三个零点,则实数 $a$ 的取值范围是(       )

A.$\left(-\infty,-\dfrac{1}{10}\right)$

B.$\left(\dfrac 18,+\infty\right)$

C.$\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$

D.$\left[-\dfrac1{1},\dfrac 18\right]$

答案    C.

解析    设函数 $f(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上的零点个数为 $m$,则 $h(x)$ 的零点个数为\[\begin{cases} m,& f(1)<0,\\ m+1,&f(1)\geqslant 0.\end{cases}\]函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的函数值 $f(1)=10a+1$,$f(x)$ 的导函数\[f'(x)=(x-2)(3ax+4),\]且 $f(2)=8a-1$.

情形一    $f(1)<0$,即 $a<-\dfrac{1}{10}$.此时由于当 $x\to -\infty$ 时,$f(x)\to +\infty$,因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上必然有零点,因此 $m\leqslant 2$,不符合题意.

情形二     $f(1)\geqslant 0$,即 $a\geqslant -\dfrac{1}{10}$.此时考虑讨论确定三次函数图象“开口”方向的分界点 $a=0$.

情形二 $(1)$     $-\dfrac{1}{10}\leqslant a<0$.此时函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上减增减,$x=2$ 为极小值点且极小值小于 $0$,$x=-\dfrac{4}{3a}$ 为极大值点.因此只需极大值\[f\left(-\dfrac{4}{3a}\right)>0\iff \dfrac{32}{27a^2}-\dfrac{16}a+12a+7>0,\]这显然成立.

情形二 $(2)$     $a\geqslant 0$.此时函数 $f(x)$ 在 $(1,\infty)$ 先减后增,$x=2$ 为极小值点,因此只需极小值\[f(2)=8a-1<0,\]于是得到 $0\leqslant a<\dfrac 18$. 综上所述,所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$.

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