每日一题[1941]变换主元

已知二次函数 $f(x)=ax^2+x+c$($a,c\in\mathbb R$,$a\ne0$)在区间 $[1,2]$ 上有零点,则 $4a^2+c^2$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac 45$.

解析    问题即 $m^2a+c=-m$,其中 $m\in [1,2]$,求 $4a^2+c^2$ 的最小值.根据柯西不等式,有\[4a^2+c^2\geqslant \dfrac{(m^2a+c)^2}{\dfrac 14m^4+1}=\dfrac{m^2}{\dfrac 14m^4+1}=\dfrac{1}{\dfrac{m^2}4+\dfrac 1{m^2}},\]因此 $4a^2+c^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$,等号 $a=-\dfrac 15$,$c=-\dfrac 45$,$m=1$ 时可以取得,因此所求最小值为 $\dfrac45$.

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