已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$．
1、求证：存在多项式 $P_n(x)$，满足 $\cos n\theta=P_n(\cos\theta)$．
2、将 $P_n(x)$ 在实数域上完全分解．
设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上一点，$F_1,F_2$ 为椭圆的左、右焦点，$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心，若 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $1$，则 $|IP|=$（ ）
A．$\sqrt 3$
B．$2$
C．$\sqrt 5$
D．以上答案都不对
设 $x,y\in\mathbb Z$，若 $\left(x^2+x+1\right)^2+\left(y^2+y+1\right)^2$ 为完全平方数，则数对 $(x,y)$ 的组数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷多
D．以上答案都不对
若 $z\in\mathbb C$，且 $\dfrac{z-1}{z+1}$ 是纯虚数，则 $|z^2+z+3|$ 的最小值是_______．
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前言：
解题是学习数学的重要环节，同样也是考查数学学习阶段性成果的重要手段。而高考题，尤其是高考压轴题就是非常好的例题与练习题。但是目前针对压轴题的内容大多是东拼西凑的“标准答案”，并没有实质性的见解，这无疑制约了同学们的进阶学习。因此，我写了《一题一课。高考数学压轴题的分析与解》，并于2016年3月出版，该书就是为基础良好的同学应对压轴题提供有效的范例，并给高中数学教师就高考压轴题的解法提供一些参考。图书上市后受到全国师生的关注，并成为2016年浙江大学出版社最畅销教辅图书，“一题一课”系列图书也被中国出版传媒商报评为“2016年优秀教辅先锋”！
今年这一版是本书的第三版，包含了全国各地最新5年（2015—2019年）高考数学压轴题的分析与解答，并对一些经典问题进行了适当的拓展，这些试题均来源于参试同学的回忆及网络资源。此外，还总结了 “破解压轴题有效18招”，每招配备了一定数量的例题与习题以帮助读者更好地掌握这些招术。
本书的目的非常纯粹，就是找出各套高考卷中的把关题（选择题最后一题、填空题最后一题以及解答题的最后三题），并且尽量展示解决这些问题的简洁优美的思路与方法，我相信，只要你坚持学完这些题，可以达到我们最初做这件事的想法和目标：“每日做好题，高考好成绩”。
由于我的水平有限，书中难免出现一些纰漏甚至是错误，请谅解。如果在阅读时发现了任何问题，可以直接向我反馈，我会尽快确认并修正。
最后，感谢您选择并购买了这本书。我忐忑不安地期望这本书对您所提供的知识能超过它的售价，并且值得您花上一些时间仔细阅读。
数列 $\{a_n\}$ 是 $7^n$ 的末两位数之和，则 $a_1+a_2+\cdots+a_{2019}=$ _______．
若 $a,b\in\mathbb R^+$，则满足不等式 $\sqrt{x^2-\sqrt 2ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt 2bx+b^2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2}$ 的 $x$（ ）
A．有唯一值
B．有两个值
C．有无数多个值
D．以上答案都不对
如图所示，开口向右的抛物线对称轴与 $x$ 轴重合，焦点位于坐标原点处，并且过 $(-1,0)$ 点．设直线 $y=\dfrac x{k_1}$ 与抛物线交于点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$（$y_1>0$）两点，直线 $y=\dfrac x{k_2}$ 与抛物线交于 $C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$（$y_3>0$）两点．
1、求抛物线方程．
2、求证：$\dfrac{k_1y_1y_2}{y_1+y_2}=\dfrac{k_2y_3y_4}{y_3+y_4}$．
3、设直线 $AC,BD$ 分别与 $y$ 轴交于 $P,Q$ 两点，求证：$|OP|=|OQ|$．
已知 $x,y\in\mathbb R$，则满足 $|x+2y|+|3x+4y|\leqslant 5$ 的点 $(x,y)$ 所构成的区域面积是_______．
