每日一题[1714]完全平方数

设 $x,y\in\mathbb Z$,若 $\left(x^2+x+1\right)^2+\left(y^2+y+1\right)^2$ 为完全平方数,则数对 $(x,y)$ 的组数为(       )

A.$0$

B.$1$

C.无穷多

D.以上答案都不对

答案    A.

解析    考虑到 $x^2+x+1=x(x+1)+1$,因此 $x^2+x+1$ 是奇数,因此\[(x^2+x+1)^2\equiv 1\pmod 4,\]同理,也有 $(y^2+y+1)^2\equiv 1\pmod 4$,因此\[(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2\equiv 2\pmod 4,\]而完全平方数模 $4$ 的余数只可能为 $0,1$,矛盾.因此所求组数为 $0$.

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