每日一题[1715]焦点三角形

设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上一点,$F_1,F_2$ 为椭圆的左、右焦点,$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心,若 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $1$,则 $|IP|=$(       )

A.$\sqrt 3$

B.$2$

C.$\sqrt 5$

D.以上答案都不对

答案    C.

解析    根据题意,$\triangle PF_1F_2$ 的周长为 $16$,而其内切圆半径为 $1$,因此 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为 $8$.根据椭圆的焦点三角形面积公式,有\[16\tan\dfrac{\angle F_1PF_2}2=8\implies \tan\dfrac{\angle F_1PF_2}2=\dfrac 12,\]因此\[|IP|=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\angle F_1PF_2}2}=\sqrt 5.\]

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