一个标准的正方体骰子被投掷 $4$ 次，投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
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每日一题[2181]贯穿双足
锐角三角形 $ABC$ 中，$P,Q$ 分别为 $C,B$ 在对边上的投影，直线 $PQ$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $X,Y$．设 $XP=10$，$PQ=25$，$QY=15$，则 $AB\cdot AC=$ _______．
每日一题[2180]拼邮票
若正整数 $n$ 满足：给定不限数量的 $5,n,n+1$ 分的邮票，使得 $91$ 分是最大的不能被直接拼出的邮费，则所有这样的正整数 $n$ 的和为_______．
每日一题[2179]三足鼎立
已知 $p=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}\right)$ 是 $1,2,\cdots,9$ 的一个排列，设 $s(p)$ 是三个三位数 $\overline{a_1a_2a_3},\overline{a_4a_5a_5},\overline{a_6a_7a_8}$ 的和．设 $m$ 是个位数为 $0$ 的 $s(p)$ 的最小值，而 $n$ 是使 $s(p)$ 取最小值 $m$ 的排列 $p$ 的个数，则 $|m-n|=$ _______．
每日一题[2178]距离折算
设正八边形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 内接于面积为 $1$ 的圆．点 $P$ 在圆内且由 $PA_1,PA_2$ 及劣弧 $A_1A_2$ 围成的区域面积为 $\dfrac 17$，由 $PA_3,PA_4$ 及劣弧 $A_3A_4$ 围成的区域面积为 $\dfrac 19$，由 $PA_6,PA_7$ 及劣弧 $A_6A_7$ 围成的区域面积为 $\dfrac 18-\dfrac{\sqrt 2}n$，其中 $n$ 为正整数，则 $n=$_______．
每日一题[2177]两圆相遇
$\triangle ABC$ 的三边长 $AB=7$，$BC=8$，$CA=9$．圆 $\omega_1$ 过点 $B$ 且与直线 $AC$ 且于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $C$ 且与直线 $AB$ 切于点 $A$．设 $K$ 是圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的不同于 $A$ 的交点，$AK$ 的最简表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$ _______．
每日一题[2176]层层分解
已知所有项之和为 $360$ 的递增有限正整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足每一项都能整除紧接其后的一项（我们认为单独的一个数 $360$ 也是符合条件的数列），则这样的数列的个数为 _______．
每日一题[2175]二进制
已知锐角 $\theta$ 满足对任意非负整数 $n$，都有\[\tan(2^n\theta)\begin{cases} >0,&n\text{ 为 }3\text{ 的倍数},\\ <0,&n\text{ 不为 }3\text{ 的倍数},\end{cases}\]$\theta$的最简分数表示为$\dfrac pq$，则$p+q=$ _______．
每日一题[2174]相似三角形
$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=120$，$BC=220$，$AC=180$．直线 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 分别平行于 $BC,AC,AB$，且被 $\triangle ABC$ 截得的线段长分别为 $55,45,15$，则 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 围成的三角形的周长为_______．
每日一题[2173]三角形式
已知多项式 $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的系数为不超过 $2019$ 的实数，且\[f\left(\dfrac{1+\sqrt{3} {\rm i}}{2}\right)=2015+2019 \sqrt{3}{\rm i},\]则 $f(1)=$ _______．