每日一题[2018]消元策略

已知互不相等的四个实数 $a,b,c,d$ 满足$$a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a=x,$$求 $x$ 的所有可能的值.

答案    $\pm \sqrt 2$.

解析    题中有 $a,b,c,d,x$ 共 $5$ 个未知数,给出了 $4$ 个方程.因此我们可以采用消元的策略,得到关于 $x$ 和另外一个未知数(不妨取 $a$)的等式后求解.依次消元,根据条件有\[\begin{split}d&=x-\dfrac 1a,\\c&=x-\dfrac 1d=\dfrac{ax^2-x-a}{ax-1},\\b&=x-\dfrac 1c=\dfrac{ax^3-x^2-2ax+1}{ax^2-x-a},\\a&=x-\dfrac 1b=\dfrac{ax^4-x^3-3ax^2+2x+a}{ax^3-x^2-2ax+1},\end{split}\]整理得$$x\left(x^2-2\right)\left(a^2-xa+1\right)=0,$$于是$$x=0\lor x=\pm\sqrt 2\lor x=a+\dfrac 1a.$$经验证,只有 $x=\pm\sqrt 2$ 符合题意. 接下来进行检验:

情形一     $x=0$.此时 $a=-\dfrac 1b=c$,与题意不符;

情形二     $x=\pm \sqrt 2$.当 $(a,b,c,d)=(1,\sqrt 2+1,-1,\sqrt 2-1)$ 时,$x=\sqrt 2$;而当 $(a,b,c,d)=(-1,-\sqrt 2-1,1,-\sqrt 2+1)$ 时,$x=-\sqrt 2$,符合题意.

情形三     $x=a+\dfrac 1a$.此时 $a=b$,与题意不符.

综上所述,$x$ 的所有可能的值为 $\pm \sqrt 2$.

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