每日一题[2017]分离变量

已知函数 $f(x)=x^3-kx+k^2$.

1、讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 有三个零点,求 $k$ 的取值范围.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3x^2-k,\]于是当 $k\leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增;当 $k>0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递增,在 $\left(-\sqrt {\dfrac k3},\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递减,在 $\left(\sqrt {\dfrac k3},+\infty\right)$ 上单调递增.

2、根据第 $(1)$ 小题的结论,$k>0$,且此时\[f\left(-\sqrt {\dfrac k3}\right)\cdot f\left(\sqrt {\dfrac k3}\right)<0\iff \left(\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)\cdot\left(-\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)<0,\]也即\[k^4-\dfrac{4k^3}{27}<0,\]解得 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{4}{27}\right)$.

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