每日一题[2021]水落石出

$a,b,c,d$ 为正数,$a>b>c>d$,记\[\begin{split} x&=\sqrt{(ab+cd)(a-b)(c-d)},\\ y&=\sqrt{(ac+bd)(a-c)(b-d)},\\ z&=\sqrt{(ad+bc)(a-d)(b-c)},\end{split}\]则以 $x,y,z$ 为边长(       )

A.必可构成一个锐角三角形

B.必可构成一个钝角三角形

C.必可构成一个直角三角形

D.不一定构成三角形

答案    C.

解析    设 $ab+cd=\alpha$,$ac+bd=\beta$,$ad+bc=\gamma$,则\[\begin{cases} (a-b)(c-d)=\beta-\gamma,\\ (a-c)(b-d)=\alpha-\gamma,\\ (a-d)(b-c)=\alpha-\beta,\end{cases}\]易知 $\alpha,\beta,\gamma>0$,于是\[\begin{split} x&=\sqrt{\alpha\beta-\gamma\alpha},\\ y&=\sqrt{\alpha\beta-\beta\gamma},\\ z&=\sqrt{\gamma\alpha-\beta\gamma},\end{split}\]从而 $x^2+z^2=y^2$,以 $x,y,z$ 为边长必可构成以 $y$ 为斜边长的直角三角形.

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