$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______．
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每日一题[2459]构造方程
设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数，求证：\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]
每日一题[2458]三重奏
求证：对于任意复数 $a,b,c$，存在复数 $z$ 满足 $|z|=1$，且有\[|(z-a)(z-b)(z-c)|\geqslant 1+|abc|.\]
每日一题[2457]瞳
求所有实数 $a,b$，使得在直线 $y=b$ 上满足 $|PF_1|\cdot |PF_2|=1$ 的点恰有两个，其中 $F_1(-a,0)$，$F_2(a,0)$．
每日一题[2456]图形割补
设正四棱锥 $P-ABCD$ 的所有棱长均为 $2$，$E,F,G$ 分别为棱 $AD,CD,BP$ 的中点，$P-ABCD$ 被平面 $EFG$ 分成两部分，求其中包含顶点 $P$ 的部分的体积．
每日一题[2455]生成函数
随机选取 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 的三元子集 $\{a,b,c\}$，则 $abc$ 的数学期望为_______．
每日一题[2454]半壁江山
$\displaystyle \sum_{k=0}^{1010}(-1)^k\dbinom{2021}{2k}=$ _______．
每日一题[2453]先礼后兵
设三个动点 $A,B,C$ 顺时针排列，$A,B$ 分别在 $x,y$ 轴上，$AB=5$，$BC=4$，$CA=3$，则点 $C$ 的轨迹方程为_______．
每日一题[2452]消元求值
设向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 满足 $\boldsymbol a^2+\boldsymbol b^2+\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=1$，则 $\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2$ 的最大值为_______．
每日一题[2451]联想公式
设函数数列 $f_1(x)=\dfrac{x\cos\theta-\sin\theta}{x\sin\theta+\cos\theta}$，$f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$，$n\in\mathbb N$，$\theta$ 为常数，则 $f_{2021}(x)=$_______．