每日一题[2458]三重奏

求证:对于任意复数 $a,b,c$,存在复数 $z$ 满足 $|z|=1$,且有\[|(z-a)(z-b)(z-c)|\geqslant 1+|abc|.\]

解析    设 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$,$\omega=\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$,则有\[f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc,\]于是\[\begin{cases} f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)=3-3abc,\\ f(-1)+f(-\omega)+f(-\omega^2)=-3-3abc,\end{cases}\]设\[t=\max\{|f(1)|,|f(\omega)|,|f(\omega^2)|,|f(-1)|,|f(-\omega)|,|f(-\omega^2)|\},\]则有\[\begin{split} t&\geqslant \dfrac13\max\{|f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)|,|f(-1)+f(-\omega)+f(-\omega^2)|\}\\ &=\dfrac 13\max\{|3-3abc|,|-3-3abc|\}\\ &=1+|abc|,\end{split}\]因此存在 $z\in\{\pm 1,\pm \omega,\pm \omega^2\}$ 符合题意,命题得证.

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