每日一题[2459]构造方程

设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数,求证:\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]

解析    设\[f(x)=\sum_{i=1}^{2021}\left(\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}\cdot \prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(x-a_j)\right),\]则问题转化为证明多项式函数 $f(x)$ 的 $x^{n-1}$ 次项系数 $r=1$,其中 $f(x)$ 满足\[f(a_i)=\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(a_i+a_j),\quad i=1,2,\cdots,2021.\]于是 $x=a_i$($i=1,2,\cdots,2021$)是关于 $x$ 的方程 $n$ 次方程\[2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=0\]的所有实根,从而\[2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=(2r-1)\prod_{j=1}^{2021}(x-a_j),\]考虑常数项,可得 $r=1$,命题得证.

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