如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，以 $BD$ 所在的直线为轴将此矩形旋转一周，则所得旋转体的表面积为_______，体积为_______．
当函数 $f(x)=\dfrac{ax^3-x^2+4a}{{\rm e}^x-1}$ 的图象经过的象限个数最多时，实数 $a$ 的取值范围_______．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1(-2,0)$，$A_2(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，点 $M$ 在 $x$ 轴上，直线 $l$ 经过点 $M$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点（异于 $A_1,A_2$ 两点）．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、 若 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时，求 $|AB|$ 的值．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$．
1、若直线 $l$ 过点 $A(-4,0)$，且被圆 $C_1$ 截得的最长弦为 $AB$，最短弦为 $CD$，求四边形 $ABCD$ 的面积．
2、设 $P$ 为平面上的点，满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$，它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交，且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标．
求所有正整数对 $(m,n)$ 使得 $\dfrac{n^2+1}{2m}$ 和 $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ 均为整数．
一个正八面体，八个面分别标以数字 $1$ 到 $8$，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触到的面上的数字，得到样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$．构造恰当的事件 $A,B,C$，使得\[P(ABC)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),\]但不满足 $A,B,C$ 两两独立．
已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：\[\dfrac{ab}{a^5+ab+b^5}+\dfrac{bc}{b^5+bc+c^5}+\dfrac{ca}{c^5+ca+a^5}\leqslant 1.\]
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt 6$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、若直线 $l:x+y+m=0$（$m>0$）与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点且 $OA\perp OB$，求 $m$ 的值及以 $AB$ 为直径的圆的周长．
设集合 $M=\{ t \mid t=m^2-n^2,~m,n\in\mathbb Z\}$．
1、证明：$M$ 中的任意两个元素的乘积也是 $M$ 的元素．
2、判断 $32,33,34$ 是否在集合 $M$ 中，并说明理由．
3、写出偶数 $2k$（$k\in\mathbb Z$）在集合 $M$ 中的一个充要条件，并给出证明．
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $2\sqrt{S_n}=a_n+1$．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、设 $b_n=\dfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：$T_n<\dfrac 12$．
3、若不等式 $\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{1}{a_{n+2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2n}}\leqslant{\log_2}(m-1)-\dfrac23$ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
