Math173

一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$．随机地投掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为 $a_{1},a_{2},a_{3}$，则事件\[\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\]发生的概率为_______．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，拋物线 $\Gamma: y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，过 $\Gamma$ 上一点 $P$（异于 $O$）作 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于点 $Q$．若 $|F P|=2$，$|F Q|=1$，则向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{O Q}$ 的数量积为_______．

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在 $\triangle A B C$ 中，$A B=1$，$A C=2$，$B-C=\dfrac{2 \mathrm{\pi}}{3}$，则 $\triangle A B C$ 的面积为_______．

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设集合 $A=\{1,2, m\}$，其中 $m$ 为实数．令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}$，$C=A \cup B$．若 $C$ 的所有元素之和为 $6$，则 $C$ 的所有元素之积为_______．

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设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$．若存在三个实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 满足 $x_{1}+1 \leqslant x_{2} \leqslant x_{3}-1$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$，求 $|a|+2|b|$ 的最小值．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\Gamma$：$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）．设 $A$ 为 $\Gamma$ 的一个长轴端点，$B$ 为 $\Gamma$ 的一个短牰端点，$F$ 为 $\Gamma$ 的一个焦点．已 知 $\Gamma$ 上存在关于 $O$ 对称的两点 $P, Q$，使得\[\overrightarrow{F P} \cdot \overrightarrow{F Q}+\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|A B|^{2}.\]

1、证明：焦点 $F$ 在 $A O$ 的延长线上．

2、求 $\Gamma$ 的离心率的取值范围．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$\Gamma_{1}$ 是以 $(2,1)$ 为圆心的单位圆，$\Gamma_{2}$ 是以 $(10,11)$ 为圆心的单位圆．过原点 $O$ 作一条直线 $l$，使得 $l$ 与 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 各有两个交点，将 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长．所有满足条件的直线 $l$ 的斜率之和为_______．

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设集合 $S=\{1,2,3, \cdots, 10\}$，$ S$ 的子集 $A$ 满足 \[ A \cap\{1,2,3\} \neq \varnothing, \quad A \cup\{4,5,6\} \neq S, \] 这样的子集 $A$ 的个数为_______．

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定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=2^{x}-x$，且对任意实数 $x$，均有 $f(x)+f(x+1)=1$．记 $a={\log _{2}} 3$，则表达式 $f(a)+f(2 a)+f(3 a)$ 的值为_______．

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复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{100}$ 满足：$z_{1}=3+2 \mathrm{i}$，$z_{n+1}=\overline{z_{n}} \cdot \mathrm{i}^{\mathrm{n}}$（$n=1,2, \cdots, 99$）（$ \mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z_{99}+z_{100}$ 的值为_______．

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