如图所示，$D$ 是 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 的中点，$K$ 为 $AC$ 与 $\triangle ABD$ 的外接圆 $O$ 的交点，$EK$ 平行于 $AB$ 且与圆 $O$ 交于 $E$．若 $AD=DE$，求证：$AB+AK=KC$．
已知函数 $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x-\left(\dfrac 15\right)^x$．对任意 $x_1,x_2\in [1,+\infty)$，且 $x_1<x_2$．
1、求证：$f(x_1)>f(x_2)$．
2、求证：$f\left(\sqrt{x_1x_2}\right)>\sqrt{f(x_1)f(x_2)}$．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 与 $x$ 轴交于点 $A,B$，过椭圆上动点 $M$（$M$ 不于 $A,B$ 重合）作椭圆的切线 $l$，过点 $A,B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与切线 $l$ 分别交于点 $C,D$．直线 $CB,AD$ 交于点 $Q$，$Q$ 关于点 $M$ 的对称点为 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程．
已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的焦点坐标为 $F_1\left(-c,0\right)$，$F_2\left(c,0\right)$，若直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 相切，点 $F_1,F_2$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_1,d_2$．
1、证明：$d_1\cdot d_2=b^2$．
2、证明：$2b\leqslant d_1+d_2\leqslant 2a$．
3、证明：$\dfrac{a-c}{a+c}\leqslant\dfrac{d_1}{d_2}\leqslant\dfrac{a+c}{a-c}$．
椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆短轴的一个顶点，$PF_1$ 的延长线与椭圆相交于 $G$，$\triangle PGF_1$ 的周长为 $8$，$|PF_1|=3|GF_1|$．
1、求椭圆 $E$ 的方程．
2、过椭圆 $E$ 外一点 $A$ 作矩形 $ABCD$，使椭圆 $E$ 与矩形 $ABCD$ 的四条边都相切，求矩形 $ABCD$ 的面积的取值范围．
已知钝角三角形 $ABC$ 满足 $\sin A=4\sin B\sin C$，则 $\sin (2B)+\sin (2C)$ 的取值范围是[[nn]]．
已知锐角三角形 $ABC$ 满足 $\sin A=4\sin B\sin C$，则 $\sin(2B)+\sin(2C)$ 的取值范围是[[nn]]．
已知函数 $y=f\left(x\right)$ 在定义域 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上严格单调递增．
1、证明：函数 $y=f\left(x\right)$ 至多存在一个零点．
2、若函数 $f\left(x\right)$ 存在零点 $x_0$，证明：存在 $a\in\mathbb{R}$ 使得 $f\left(x+a\right)<f\left(x\right)+f\left(a\right)$ 对于任意 $x\in\left(-\infty,+\infty\right)$ 恒成立的充分必要条件是 $x_0<0$．
已知三角形 $ABC$ 中，满足 $\dfrac{3\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{2\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac{\sqrt{19}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}$，点 $D$ 为线段 $AB$ 上的一个动点．若 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$ 的最小值为 $-3$，则 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 等于_______．
设 $x,y,z\in\left(0,+\infty\right)$，$x^2+y^2+z^2=1$，则 $f\left(x,y,z\right)=x+y+z-xyz$ 的值域是______．
